Calculadora de Forma Polar de Números Complejos
Un número complejo en ambas formas, con módulo, argumento, conjugado, potencias por De Moivre y todas sus raíces.
Resultados
Qué hace esta herramienta
Un número complejo puede escribirse de dos maneras: como un par de coordenadas, o como una longitud y un ángulo. La primera es natural para sumar, la segunda para multiplicar — en forma polar, multiplicar es multiplicar las longitudes y sumar los ángulos, y elevar a una potencia se vuelve casi trivial. Esta página convierte en ambos sentidos, da el módulo y el argumento en grados y radianes, aplica el teorema de De Moivre para cualquier potencia hasta veinte, y lista las n raíces distintas, que se sitúan a ángulos iguales alrededor de un círculo.
Fórmula
r = √(a² + b²) · θ = atan2(b, a) · (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ · ⁿ√(r∠θ) = ⁿ√r ∠ (θ + 360°k) ÷ n
Variables
| Símbolo | Significado | Unidad |
|---|---|---|
mode | Sentido | — |
real | Parte real a | — |
imag | Parte imaginaria b | — |
modulus | Longitud r | — |
argument | Ángulo | — |
unit | El ángulo está en | — |
power | Elevar a la potencia | — |
OU | La otra forma | — |
RC | Como a + bi | — |
PL | Como longitud y ángulo | — |
MO | Módulo, su distancia a cero | — |
AD | Argumento en grados | — |
AR | Argumento en radianes | — |
PR | Parte real tras la potencia | — |
PI | Parte imaginaria tras la potencia | — |
PM | Módulo tras la potencia | — |
RT | Número de raíz · parte real · parte imaginaria · ángulo | — |
CJ | El conjugado | — |
Ejemplo resuelto
- Sentidoto_polar
- Parte real a3
- Parte imaginaria b4
- Longitud r5
- Ángulo53,1301
- El ángulo está endeg
- Elevar a la potencia2
- La otra forma5(cos 53.1301023542 + i sin 53.1301023542)
- Como a + bi3 + 4i
- Como longitud y ángulo5(cos 53.1301023542 + i sin 53.1301023542)
- Módulo, su distancia a cero5,0000000000
- Argumento en grados53,13010235
- Argumento en radianes0,9272952180
- Parte real tras la potencia-7,0000000000
- Parte imaginaria tras la potencia24,0000000000
- Módulo tras la potencia25,0000000000
- Número de raíz · parte real · parte imaginaria · ángulo0 2 1 26.565051 1 -2 -1 206.565051
- El conjugado3 - 4i
Preguntas frecuentes
¿Por qué existe siquiera la forma polar?
Porque hace trivial la multiplicación. En forma binómica, multiplicar dos complejos son cuatro productos y una contabilidad cuidadosa de los signos; en forma polar se multiplican las dos longitudes y se suman los dos ángulos, y esa es toda la operación. Elevar a una potencia pasa a ser elevar un número a esa potencia y multiplicar un ángulo por ella, que es el teorema de De Moivre. Con la suma es al revés —fácil en binómica, incómoda en polar— y por eso ambas formas siguen en uso y convertir entre ellas es un paso rutinario y no una curiosidad.
¿Qué son las raíces de la tabla?
Las raíces n-ésimas de su número, todas ellas. Un número real positivo tiene una raíz cuadrada real en la que normalmente se piensa; un número complejo tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas, y se sitúan a ángulos iguales alrededor de un círculo, como las puntas de una estrella. Las raíces cúbicas de 1, por ejemplo, son 1 y otras dos a 120 y 240 grados — y por eso una cúbica siempre tiene tres raíces aunque solo una sea real. La tabla da las coordenadas cartesianas de cada raíz y su ángulo.