Calculadora de Ecuaciones Diferenciales
La solución exacta de una ecuación lineal de primer orden con coeficientes constantes, con su equilibrio y constante de tiempo.
Resultados
Qué hace esta herramienta
Una ecuación diferencial aparece más que todas las demás juntas: algo que cambia a un ritmo proporcional a lo lejos que está de donde quiere llegar. Café enfriándose, un condensador cargándose, un fármaco saliendo de la sangre, un ahorro con retiradas regulares: todos la misma forma, y′ + p·y = q. Esta página la resuelve exactamente y no numéricamente, da el equilibrio hacia el que va el sistema, e indica la constante de tiempo y la semivida que dicen con qué rapidez llega. La comprobación de la pendiente abajo sustituye la respuesta en la ecuación original.
Fórmula
y′ + p y = q ⟹ y = q ÷ p + (y₀ − q ÷ p) e^(−p x)
Variables
| Símbolo | Significado | Unidad |
|---|---|---|
p | p, el coeficiente de y | — |
q | q, la constante del lado derecho | — |
y0 | y cuando x es cero | — |
at | Calcular el valor en x = | — |
SL | La solución | — |
VA | y en ese x | — |
EQ | Dónde se estabiliza | — |
KD | Qué hace con el tiempo | — |
TC | Constante de tiempo | — |
HL | Tiempo para recorrer la mitad de lo que falta | — |
SS | A qué ritmo cambia al principio | — |
CK | La ecuación comprobada en ese x | — |
Ejemplo resuelto
- p, el coeficiente de y0,5
- q, la constante del lado derecho0
- y cuando x es cero100
- Calcular el valor en x =2
- La solucióny = 100*exp(-0.5*x)
- y en ese x36,7879441171
- Dónde se estabiliza0,0000000000
- Qué hace con el tiempoSe estabiliza en el equilibrio
- Constante de tiempo2,00000000
- Tiempo para recorrer la mitad de lo que falta1,38629436
- A qué ritmo cambia al principio-50,00000000
- La ecuación comprobada en ese x-18,3939720586
Limitaciones
- El cálculo se realiza íntegramente en su navegador. Los valores introducidos nunca se envían a un servidor.
- La fórmula supone condiciones ideales: sin pérdidas por fricción, sin resistencia del aire y sin pérdidas de rendimiento salvo que las introduzca.
Preguntas frecuentes
¿Qué ecuaciones resuelve esto?
Una familia, exactamente: y′ + p·y = q con p y q constantes. Suena estrecho y no lo es, porque es la misma ecuación del enfriamiento de Newton, de un condensador cargándose a través de una resistencia, de un fármaco saliendo de la sangre, de un depósito llenándose mientras se vacía, y de una población creciendo contra una cosecha fija. Todas tienen la misma forma —una cantidad atraída hacia un equilibrio a un ritmo proporcional a lo lejos que está— y esta página da la respuesta exacta en forma cerrada, no una aproximación numérica. Las ecuaciones donde p o q dependen de x necesitan otro método y no se tratan aquí.
¿Qué es la constante de tiempo?
Cuánto tarda el sistema en recorrer un 63 por ciento de la distancia a su equilibrio — uno dividido por p. Es el reloj natural del proceso: tras una constante de tiempo queda un 37 por ciento de la distancia, tras tres un 5 por ciento, y tras cinco menos del uno por ciento, por lo que los ingenieros tratan cinco constantes de tiempo como «estabilizado». La semivida al lado es la misma idea medida de otra forma: el tiempo para recorrer exactamente la mitad de lo que falta, que son 0,693 veces la constante de tiempo.