Calculateur d'Équations Différentielles
La solution exacte d'une équation linéaire du premier ordre à coefficients constants, avec son équilibre et sa constante de temps.
Résultats
Ce que fait cet outil
Une équation différentielle revient plus souvent que toutes les autres réunies : quelque chose qui évolue à un rythme proportionnel à sa distance à l'endroit visé. Un café qui refroidit, un condensateur qui se charge, un médicament qui quitte le sang, une épargne avec des retraits réguliers — toutes la même forme, y′ + p·y = q. Cette page la résout exactement et non numériquement, donne l'équilibre vers lequel le système tend, et indique la constante de temps et la demi-vie qui disent à quelle vitesse il y parvient. La vérification de pente en bas réinjecte la réponse dans l'équation d'origine.
Formule
y′ + p y = q ⟹ y = q ÷ p + (y₀ − q ÷ p) e^(−p x)
Variables
| Symbole | Signification | Unité |
|---|---|---|
p | p, le coefficient de y | — |
q | q, la constante de droite | — |
y0 | y quand x vaut zéro | — |
at | Évaluer en x = | — |
SL | La solution | — |
VA | y à ce x | — |
EQ | Où cela se stabilise | — |
KD | Ce qu'elle fait avec le temps | — |
TC | Constante de temps | — |
HL | Temps pour couvrir la moitié de l'écart restant | — |
SS | À quel rythme cela change au début | — |
CK | L'équation vérifiée à ce x | — |
Exemple résolu
- p, le coefficient de y0,5
- q, la constante de droite0
- y quand x vaut zéro100
- Évaluer en x =2
- La solutiony = 100*exp(-0.5*x)
- y à ce x36,7879441171
- Où cela se stabilise0,0000000000
- Ce qu'elle fait avec le tempsSe stabilise vers l'équilibre
- Constante de temps2,00000000
- Temps pour couvrir la moitié de l'écart restant1,38629436
- À quel rythme cela change au début-50,00000000
- L'équation vérifiée à ce x-18,3939720586
Limites
- Le calcul s'effectue entièrement dans votre navigateur. Les valeurs saisies ne sont jamais envoyées à un serveur.
- La formule suppose des conditions idéales : pas de frottement, pas de résistance de l'air et pas de pertes de rendement sauf si vous les saisissez.
Questions fréquentes
Quelles équations résout-il ?
Une famille, exactement : y′ + p·y = q avec p et q constants. Cela paraît étroit et ne l'est pas, car c'est la même équation que le refroidissement de Newton, un condensateur se chargeant à travers une résistance, un médicament quittant le sang, un réservoir se remplissant tout en se vidant, et une population croissant face à un prélèvement fixe. Toutes ont la même forme — une grandeur attirée vers un équilibre à un rythme proportionnel à sa distance — et cette page donne la réponse exacte en forme close, pas une approximation numérique. Les équations où p ou q dépendent de x exigent une autre méthode et ne sont pas traitées ici.
Qu'est-ce que la constante de temps ?
Le temps que met le système à parcourir environ 63 pour cent de la distance à son équilibre — un divisé par p. C'est l'horloge naturelle du processus : après une constante de temps il reste 37 pour cent de l'écart, après trois environ 5 pour cent, et après cinq moins d'un pour cent, d'où l'habitude des ingénieurs de considérer cinq constantes de temps comme « stabilisé ». La demi-vie affichée à côté est la même idée mesurée autrement : le temps pour parcourir exactement la moitié de ce qui reste, soit 0,693 fois la constante de temps.