Calculadora de Series de Taylor
El polinomio de Taylor o de Maclaurin de una función, con cada coeficiente y cuánto se desvía la aproximación.
Resultados
Qué hace esta herramienta
Una serie de Taylor convierte cualquier función suave en un polinomio, que es el único tipo de función que un ordenador puede evaluar de verdad: todos los senos que su calculadora ha producido salieron de una. La idea es simple: acertar el valor en un punto, luego la pendiente, luego la curvatura, luego la variación de la curvatura, y así. Esta página calcula las derivadas exactamente, construye el polinomio en la forma ascendente clásica con denominadores factoriales, y muestra a qué distancia está de la función verdadera en un punto que usted elija.
Fórmula
f(x) ≈ Σₖ₌₀ⁿ f⁽ᵏ⁾(a) (x − a)ᵏ ÷ k! · a = 0 ⟹ Maclaurin
Variables
| Símbolo | Significado | Unidad |
|---|---|---|
expr | La expresión, en x | — |
centre | Centrar la serie en | — |
order | Cuántos términos (orden) | — |
at | Comparar con la función en | — |
PL | La serie | — |
TB | k · la derivada de orden k · k! · el coeficiente | — |
TV | Cuánto vale realmente la función ahí | — |
AV | Cuánto da la serie ahí | — |
ER | Cuánto se desvía la serie | — |
EP | Lo mismo en proporción | % |
MC | ¿Es una serie de Maclaurin? | — |
OR | Cuántos términos (orden) | — |
Ejemplo resuelto
- La expresión, en xexp(x)
- Centrar la serie en0
- Cuántos términos (orden)5
- Comparar con la función en0,5
- La serie1 + x + x^2 / 2 + x^3 / 6 + x^4 / 24 + x^5 / 120
- k · la derivada de orden k · k! · el coeficiente0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 0.50000000 3 1 6 0.16666667 4 1 24 0.04166667 5 1 120 0.00833333
- Cuánto vale realmente la función ahí1,648721270700
- Cuánto da la serie ahí1,648697916670
- Cuánto se desvía la serie0,000023354033
- Lo mismo en proporción0,0014 %
- ¿Es una serie de Maclaurin?Sí
- Cuántos términos (orden)5
Limitaciones
- El cálculo se realiza íntegramente en su navegador. Los valores introducidos nunca se envían a un servidor.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre Taylor y Maclaurin?
Solo dónde está centrada la serie. Una serie de Maclaurin es una serie de Taylor centrada en cero, y esa es toda la distinción: la fórmula es idéntica. El centro importa porque la aproximación es mejor cerca de él y empeora al alejarse: la serie de la exponencial centrada en cero es excelente en x = 0,1 e inútil en x = 10. Si el punto que le interesa está lejos de cero, centre ahí la serie, y el mismo número de términos dará mucho mejor resultado.
¿Por qué el error es a veces grande?
Porque un polinomio de Taylor es una aproximación local, y dos cosas la empeoran: la distancia al centro, y que la función tenga una singularidad cerca. La serie de 1/(1−x) centrada en cero es exactamente 1 + x + x² + … y converge solo para |x| < 1: en x = 1 falla por completo, porque la propia función estalla ahí. Añadir términos ayuda dentro del radio de convergencia y no hace nada fuera de él. El error mostrado compara el polinomio con la función verdadera en el punto que eligió, para que vea esto ocurrir en vez de que se lo cuenten.