Calculadora de Integração Numérica
A área sob uma curva pelas regras dos trapézios, do ponto médio e de Simpson, com o erro de cada uma medido.
Resultados
O que faz esta ferramenta
Quando um integral não tem forma fechada — e a maior parte não tem — a área tem de ser medida em vez de deduzida. Os três métodos clássicos fazem a mesma coisa: partem o intervalo em tiras e aproximam cada uma por algo simples. A regra dos trapézios usa uma recta entre as pontas, a do ponto médio uma recta horizontal pelo centro, e Simpson uma parábola por três pontos. Esta página corre as três sobre as mesmas tiras e mede a que distância cada uma cai de uma referência muito mais fina, para a diferença entre elas ser coisa que se vê e não que se ouve dizer.
Fórmula
h = (b − a) ÷ n · T = h(f₀÷2 + f₁ + … + fₙ÷2) · M = h Σ f(xᵢ + h÷2) · S = (h÷3)(f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + fₙ)
Variáveis
| Símbolo | Significado | Unidade |
|---|---|---|
expr | A função f(x) | — |
lower | De | — |
upper | Até | — |
pieces | Quantas tiras | — |
SP | O mesmo pela regra de Simpson | — |
TB | T trapézios · M ponto médio · S Simpson: valor e quanto erra | — |
TZ | Pela regra dos trapézios | — |
MD | Pela regra do ponto médio | — |
RF | Referência, sobre duas mil tiras | — |
ES | Quanto Simpson erra | — |
ET | Quanto a regra dos trapézios erra | — |
EM | Quanto a regra do ponto médio erra | — |
WD | Largura de cada tira | — |
IN | Como a página a leu | — |
Exemplo resolvido
- A função f(x)x^2
- De0
- Até1
- Quantas tiras10
- O mesmo pela regra de Simpson0,333333333333
- T trapézios · M ponto médio · S Simpson: valor e quanto erraT 0.3350000000 0.0016666667 M 0.3325000000 -0.0008333333 S 0.3333333333 0
- Pela regra dos trapézios0,335000000000
- Pela regra do ponto médio0,332500000000
- Referência, sobre duas mil tiras0,333333333333
- Quanto Simpson erra-1,11022e-16
- Quanto a regra dos trapézios erra0,00166666666667
- Quanto a regra do ponto médio erra-0,00083333333333
- Largura de cada tira0,1000000000
- Como a página a leux^2
Limitações
- O cálculo é feito inteiramente no seu navegador. Os valores que introduz nunca são enviados para um servidor.
- O resultado é uma estimativa baseada apenas nos valores que introduziu. Situações reais incluem muitas vezes fatores que esta calculadora desconhece.
Perguntas frequentes
Porque é que Simpson é tanto melhor?
Porque ajusta parábolas onde os outros dois ajustam rectas. A regra dos trapézios une as pontas de cada tira com uma corda, a do ponto médio usa uma recta horizontal pelo meio, e ambas erram por uma quantidade proporcional ao quadrado da largura. Simpson ajusta uma curva por três pontos e erra por uma quantidade proporcional à largura à quarta — por isso reduzir a largura a metade corta o erro a um dezasseis avos em vez de a um quarto. Compare os três erros na tabela: numa função suave, Simpson costuma estar milhares de vezes mais perto pelo mesmo trabalho.
O que é o valor de referência?
O mesmo integral calculado pela regra de Simpson sobre dois mil troços, que para qualquer função banal está muito mais perto da verdade do que o número de troços que escolheu. Está lá para que os três erros mostrados sejam medições verdadeiras e não palpites. Não é a resposta exacta — nada numérico é — mas numa função suave costuma estar certo a onze ou doze algarismos, o que chega para julgar os outros.