Calculateur d'Intégration Numérique
L'aire sous une courbe par les règles des trapèzes, du point milieu et de Simpson, avec l'erreur de chacune mesurée.
Résultats
Ce que fait cet outil
Quand une intégrale n'a pas de forme close — et la plupart n'en ont pas — l'aire doit être mesurée plutôt que déduite. Les trois méthodes classiques font la même chose : découper l'intervalle en bandes et approcher chacune par quelque chose de simple. La règle des trapèzes utilise une droite entre les extrémités, celle du point milieu une droite horizontale au centre, et Simpson une parabole par trois points. Cette page exécute les trois sur les mêmes bandes et mesure l'écart de chacune à une référence bien plus fine, pour que la différence entre elles se voie au lieu d'être annoncée.
Formule
h = (b − a) ÷ n · T = h(f₀÷2 + f₁ + … + fₙ÷2) · M = h Σ f(xᵢ + h÷2) · S = (h÷3)(f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + fₙ)
Variables
| Symbole | Signification | Unité |
|---|---|---|
expr | La fonction f(x) | — |
lower | De | — |
upper | À | — |
pieces | Combien de bandes | — |
SP | La même chose par la règle de Simpson | — |
TB | T trapèzes · M point milieu · S Simpson : valeur et écart | — |
TZ | Par la règle des trapèzes | — |
MD | Par la règle du point milieu | — |
RF | Référence, sur deux mille bandes | — |
ES | L'écart de Simpson | — |
ET | L'écart de la règle des trapèzes | — |
EM | L'écart de la règle du point milieu | — |
WD | Largeur de chaque bande | — |
IN | Comme la page l'a lue | — |
Exemple résolu
- La fonction f(x)x^2
- De0
- À1
- Combien de bandes10
- La même chose par la règle de Simpson0,333333333333
- T trapèzes · M point milieu · S Simpson : valeur et écartT 0.3350000000 0.0016666667 M 0.3325000000 -0.0008333333 S 0.3333333333 0
- Par la règle des trapèzes0,335000000000
- Par la règle du point milieu0,332500000000
- Référence, sur deux mille bandes0,333333333333
- L'écart de Simpson-1,11022e-16
- L'écart de la règle des trapèzes0,00166666666667
- L'écart de la règle du point milieu-0,00083333333333
- Largeur de chaque bande0,1000000000
- Comme la page l'a luex^2
Limites
- Le calcul s'effectue entièrement dans votre navigateur. Les valeurs saisies ne sont jamais envoyées à un serveur.
- Le résultat est une estimation fondée uniquement sur les valeurs saisies. Les situations réelles comportent souvent des facteurs que cette calculatrice ignore.
Questions fréquentes
Pourquoi Simpson est-il tellement meilleur ?
Parce qu'il ajuste des paraboles là où les deux autres ajustent des droites. La règle des trapèzes joint les extrémités de chaque bande par une corde, celle du point milieu utilise une droite horizontale au centre, et toutes deux se trompent d'une quantité proportionnelle au carré de la largeur. Simpson ajuste une courbe par trois points et se trompe d'une quantité proportionnelle à la largeur à la puissance quatre — diviser la largeur par deux divise donc l'erreur par seize plutôt que par quatre. Comparez les trois erreurs dans le tableau : sur une fonction lisse, Simpson est souvent des milliers de fois plus proche pour le même effort.
Qu'est-ce que la valeur de référence ?
La même intégrale calculée par la règle de Simpson sur deux mille bandes, ce qui, pour toute fonction ordinaire, est bien plus proche de la vérité que le nombre de bandes que vous avez choisi. Elle est là pour que les trois erreurs affichées soient de vraies mesures et non des suppositions. Ce n'est pas la réponse exacte — rien de numérique ne l'est — mais sur une fonction lisse elle est généralement juste à onze ou douze chiffres, ce qui suffit pour juger les autres.