Calculadora de Séries de Taylor
O polinómio de Taylor ou de Maclaurin de uma função, com cada coeficiente e quanto a aproximação erra.
Resultados
O que faz esta ferramenta
Uma série de Taylor transforma qualquer função suave num polinómio, que é o único tipo de função que um computador consegue mesmo avaliar — todos os senos que a sua calculadora alguma vez produziu vieram de uma. A ideia é simples: acertar o valor num ponto, depois o declive, depois a curvatura, depois a variação da curvatura, e por aí fora. Esta página calcula as derivadas exactamente, constrói o polinómio na forma crescente clássica com denominadores factoriais, e mostra a que distância está da função verdadeira num ponto à sua escolha.
Fórmula
f(x) ≈ Σₖ₌₀ⁿ f⁽ᵏ⁾(a) (x − a)ᵏ ÷ k! · a = 0 ⟹ Maclaurin
Variáveis
| Símbolo | Significado | Unidade |
|---|---|---|
expr | A expressão, em x | — |
centre | Centrar a série em | — |
order | Quantos termos (ordem) | — |
at | Comparar com a função em | — |
PL | A série | — |
TB | k · a derivada de ordem k · k! · o coeficiente | — |
TV | Quanto a função vale mesmo aí | — |
AV | Quanto a série dá aí | — |
ER | Quanto a série erra | — |
EP | O mesmo em proporção | % |
MC | É uma série de Maclaurin? | — |
OR | Quantos termos (ordem) | — |
Exemplo resolvido
- A expressão, em xexp(x)
- Centrar a série em0
- Quantos termos (ordem)5
- Comparar com a função em0,5
- A série1 + x + x^2 / 2 + x^3 / 6 + x^4 / 24 + x^5 / 120
- k · a derivada de ordem k · k! · o coeficiente0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 0.50000000 3 1 6 0.16666667 4 1 24 0.04166667 5 1 120 0.00833333
- Quanto a função vale mesmo aí1,648721270700
- Quanto a série dá aí1,648697916670
- Quanto a série erra0,000023354033
- O mesmo em proporção0,0014 %
- É uma série de Maclaurin?Sim
- Quantos termos (ordem)5
Limitações
- O cálculo é feito inteiramente no seu navegador. Os valores que introduz nunca são enviados para um servidor.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre Taylor e Maclaurin?
Só onde a série está centrada. Uma série de Maclaurin é uma série de Taylor centrada em zero, e é essa toda a distinção — a fórmula é idêntica. O centro importa porque a aproximação é melhor perto dele e piora à medida que nos afastamos: a série da exponencial centrada em zero é excelente em x = 0,1 e inútil em x = 10. Se o ponto que lhe interessa está longe de zero, centre a série aí, e o mesmo número de termos dará muito melhor.
Porque é que o erro é às vezes grande?
Porque um polinómio de Taylor é uma aproximação local, e duas coisas pioram-na: a distância ao centro, e a função ter uma singularidade por perto. A série de 1/(1−x) centrada em zero é exactamente 1 + x + x² + … e converge só para |x| < 1 — em x = 1 falha por completo, porque a própria função rebenta ali. Acrescentar termos ajuda dentro do raio de convergência e não faz absolutamente nada fora dele. O erro mostrado compara o polinómio com a função verdadeira no ponto que escolheu, para ver isto a acontecer em vez de lho contarem.