Calculadora de Ecuación Cúbica
Las raíces reales de ax³ + bx² + cx + d = 0, por Cardano o por la forma trigonométrica, con cada raíz comprobada.
Resultados
Qué hace esta herramienta
Una cúbica siempre tiene al menos una raíz real —la curva tiene que cruzar el eje en algún sitio— y puede tener tres. Encontrarlas exactamente llevó a los matemáticos hasta el siglo XVI y produjo uno de los episodios más extraños de la historia del álgebra: la fórmula que funciona para tres raíces reales exige un rodeo por los números imaginarios. Esta página toma el camino corto, usando el método de Cardano donde se porta bien y la forma trigonométrica donde no, y sustituye cada raíz de vuelta en su ecuación para que vea que realmente es una raíz.
Fórmula
x = y − b ÷ 3a ⟹ y³ + p y + q = 0 · Δ = (q ÷ 2)² + (p ÷ 3)³
Variables
| Símbolo | Significado | Unidad |
|---|---|---|
a | a | — |
b | b | — |
c | c | — |
d | d | — |
R1 | Raíz x₁ | — |
R2 | Raíz x₂ | — |
R3 | Tercera raíz | — |
KD | Qué tipo de raíces | — |
TB | Raíz · cuánto da la ecuación ahí | — |
NR | Raíces reales encontradas | — |
RS | Mayor desvío al sustituir de vuelta | — |
DS | El discriminante | — |
SR | Las raíces sumadas | — |
PP | p, tras quitar el término cuadrático | — |
PQ | q, tras quitar el término cuadrático | — |
Ejemplo resuelto
- a1
- b-6
- c11
- d-6
- Raíz x₁1,0000000000
- Raíz x₂2,0000000000
- Tercera raíz3,0000000000
- Qué tipo de raícesTres raíces reales distintas
- Raíz · cuánto da la ecuación ahí1 0 2 0 3 0
- Raíces reales encontradas3
- Mayor desvío al sustituir de vuelta8,88178e-16
- El discriminante-0,0370370370
- Las raíces sumadas6,0000000000
- p, tras quitar el término cuadrático-1,0000000000
- q, tras quitar el término cuadrático0,0000000000
Preguntas frecuentes
¿Por qué hay dos métodos distintos?
Porque la fórmula de Cardano, pese a toda su fama, falla en el caso que más interesa a la gente. Cuando una cúbica tiene tres raíces reales distintas, el discriminante es negativo y el método de Cardano pide la raíz cúbica de un número complejo: las tres respuestas reales solo se alcanzan viajando por los imaginarios y volviendo. Esa situación se llamó históricamente el caso irreducible y avergonzó bastante a los matemáticos del siglo XVI. La forma trigonométrica la evita por completo: escribe las raíces como cosenos de un tercio de un ángulo y se queda en los reales todo el tiempo. Esta página usa Cardano cuando hay una raíz real y la forma trigonométrica cuando hay tres.
¿Para qué sirve la columna del residuo?
Sustituye cada raíz en la ecuación original y muestra lo que sale, que debería ser cero. Las fórmulas de las cúbicas implican raíces cúbicas y cancelaciones que pueden perder precisión seriamente, así que esto no es una formalidad: un residuo de 1e-15 significa que la raíz es tan buena como permite la coma flotante, mientras que uno de 1e-4 significa que la respuesta es solo aproximada y debería afinarla con el método de Newton. Mostrarlo le permite juzgar en vez de confiar.