Calculadora de Equação Cúbica
As raízes reais de ax³ + bx² + cx + d = 0, por Cardano ou pela forma trigonométrica, com cada raiz verificada.
Resultados
O que faz esta ferramenta
Uma cúbica tem sempre pelo menos uma raiz real — a curva tem de cruzar o eixo algures — e pode ter três. Encontrá-las exactamente levou os matemáticos até ao século XVI e produziu um dos episódios mais estranhos da história da álgebra: a fórmula que funciona para três raízes reais exige um desvio pelos números imaginários. Esta página vai pelo caminho mais curto, usando o método de Cardano onde ele se porta bem e a forma trigonométrica onde não, e substitui cada raiz de volta na sua equação para poder ver que é mesmo uma raiz.
Fórmula
x = y − b ÷ 3a ⟹ y³ + p y + q = 0 · Δ = (q ÷ 2)² + (p ÷ 3)³
Variáveis
| Símbolo | Significado | Unidade |
|---|---|---|
a | a | — |
b | b | — |
c | c | — |
d | d | — |
R1 | Raiz x₁ | — |
R2 | Raiz x₂ | — |
R3 | Terceira raiz | — |
KD | Que tipo de raízes | — |
TB | Raiz · quanto a equação dá aí | — |
NR | Raízes reais encontradas | — |
RS | Maior desvio ao substituir de volta | — |
DS | O discriminante | — |
SR | As raízes somadas | — |
PP | p, depois de tirar o termo do quadrado | — |
PQ | q, depois de tirar o termo do quadrado | — |
Exemplo resolvido
- a1
- b-6
- c11
- d-6
- Raiz x₁1,0000000000
- Raiz x₂2,0000000000
- Terceira raiz3,0000000000
- Que tipo de raízesTrês raízes reais diferentes
- Raiz · quanto a equação dá aí1 0 2 0 3 0
- Raízes reais encontradas3
- Maior desvio ao substituir de volta8,88178e-16
- O discriminante-0,0370370370
- As raízes somadas6,0000000000
- p, depois de tirar o termo do quadrado-1,0000000000
- q, depois de tirar o termo do quadrado0,0000000000
Perguntas frequentes
Porque há dois métodos diferentes?
Porque a fórmula de Cardano, apesar de toda a sua fama, falha no caso que mais interessa às pessoas. Quando uma cúbica tem três raízes reais distintas, o discriminante é negativo e o método de Cardano pede a raiz cúbica de um número complexo — as três respostas reais só se alcançam viajando pelos imaginários e voltando. Essa situação chamou-se historicamente o caso irredutível e embaraçou consideravelmente os matemáticos do século XVI. A forma trigonométrica evita-a por completo: escreve as raízes como cossenos de um terço de um ângulo e fica nos reais o tempo todo. Esta página usa Cardano quando há uma raiz real e a forma trigonométrica quando há três.
Para que serve a coluna do resíduo?
Substitui cada raiz na equação original e mostra o que sai, que devia ser zero. As fórmulas das cúbicas envolvem raízes cúbicas e cancelamentos que podem perder precisão a sério, por isso isto não é uma formalidade — um resíduo de 1e-15 quer dizer que a raiz está tão boa quanto a vírgula flutuante permite, enquanto um resíduo de 1e-4 quer dizer que a resposta é só aproximada e que a deve afinar com o método de Newton. Mostrá-lo permite-lhe julgar em vez de confiar.