Calculadora de Newton-Raphson
Una raíz de cualquier función por el método de Newton, con la tabla de iteraciones y un veredicto honesto sobre la convergencia.
Resultados
Qué hace esta herramienta
La mayoría de las ecuaciones no se resuelven con álgebra, y el método de Newton es cómo se resuelven: se está en una conjetura, se sigue la recta tangente hasta el eje, y se pasa a estar ahí. Cuando funciona es espectacular, duplicando el número de dígitos correctos en cada paso. Cuando no —sin raíz real, con la derivada plana, con un mal punto de partida— se va, y lo honesto es decirlo. Esta página muestra todas las iteraciones para ver cuál de las dos ocurre, y calcula la derivada simbólicamente en vez de aproximarla.
Fórmula
xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) ÷ f′(xₙ)
Variables
| Símbolo | Significado | Unidad |
|---|---|---|
expr | La función f(x) | — |
start | Empezar en | — |
steps | Como mucho estos pasos | — |
RT | La raíz | — |
CV | ¿Convergió? | — |
TB | Todos los pasos del camino | — |
RS | Cuánto da la función en esa raíz | — |
SU | Pasos que tardó de verdad | — |
DV | La derivada que usó | — |
IN | Cómo la leyó la página | — |
Ejemplo resuelto
- La función f(x)x^2 - 2
- Empezar en1
- Como mucho estos pasos20
- La raíz1,414213562370
- ¿Convergió?Sí
- Todos los pasos del camino0 1 -1 2 1 1.5000000000 0.2500000000 3 2 1.4166666667 0.0069444444 2.8333333333 3 1.4142156863 0.0000060073 2.8284313726 4 1.4142135624 0 2.8284271248 5 1.4142135624 0 2.8284271248
- Cuánto da la función en esa raíz4,44089e-16
- Pasos que tardó de verdad6
- La derivada que usó2x
- Cómo la leyó la páginax^2 - 2
Limitaciones
- El cálculo se realiza íntegramente en su navegador. Los valores introducidos nunca se envían a un servidor.
Preguntas frecuentes
¿Por qué a veces no converge?
Porque el método de Newton es rápido pero no seguro. Sigue la recta tangente hasta el eje y salta allí, lo que duplica el número de dígitos correctos en cada paso cuando funciona, y le lanza al otro extremo cuando no. Falla cuando no hay raíz real alguna, cuando la derivada está cerca de cero y la tangente queda casi plana, o cuando la conjetura inicial está del lado equivocado de un punto de giro. La tabla muestra todos los pasos, para ver la convergencia o la fuga en vez de recibir solo un número. Cuando no converge, la página lo dice en vez de mostrar el último valor.
¿De dónde sale la derivada?
Se obtiene simbólicamente a partir de la función que escribió, no se estima de puntos cercanos. Eso importa: una derivada tomada por diferencias finitas lleva su propio error, y cerca de la raíz —donde f es minúsculo— ese error es proporcionalmente enorme y puede impedir que el método converja hasta el final de la precisión. La derivada usada se muestra para que pueda comprobarla, y es la misma expresión exacta que le daría la página de derivadas.