Calculadora de Integración Numérica
El área bajo una curva por las reglas del trapecio, del punto medio y de Simpson, con el error de cada una medido.
Resultados
Qué hace esta herramienta
Cuando una integral no tiene forma cerrada —y la mayoría no la tiene— el área hay que medirla en vez de deducirla. Los tres métodos clásicos hacen lo mismo: parten el intervalo en franjas y aproximan cada una con algo simple. La regla del trapecio usa una recta entre los extremos, la del punto medio una recta horizontal por el centro, y Simpson una parábola por tres puntos. Esta página ejecuta las tres sobre las mismas franjas y mide a qué distancia cae cada una de una referencia mucho más fina, para que la diferencia entre ellas sea algo que se ve y no que se cuenta.
Fórmula
h = (b − a) ÷ n · T = h(f₀÷2 + f₁ + … + fₙ÷2) · M = h Σ f(xᵢ + h÷2) · S = (h÷3)(f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + fₙ)
Variables
| Símbolo | Significado | Unidad |
|---|---|---|
expr | La función f(x) | — |
lower | Desde | — |
upper | Hasta | — |
pieces | Cuántas franjas | — |
SP | Lo mismo por la regla de Simpson | — |
TB | T trapecio · M punto medio · S Simpson: valor y cuánto se desvía | — |
TZ | Por la regla del trapecio | — |
MD | Por la regla del punto medio | — |
RF | Referencia, sobre dos mil franjas | — |
ES | Cuánto se desvía Simpson | — |
ET | Cuánto se desvía la regla del trapecio | — |
EM | Cuánto se desvía la regla del punto medio | — |
WD | Anchura de cada franja | — |
IN | Cómo la leyó la página | — |
Ejemplo resuelto
- La función f(x)x^2
- Desde0
- Hasta1
- Cuántas franjas10
- Lo mismo por la regla de Simpson0,333333333333
- T trapecio · M punto medio · S Simpson: valor y cuánto se desvíaT 0.3350000000 0.0016666667 M 0.3325000000 -0.0008333333 S 0.3333333333 0
- Por la regla del trapecio0,335000000000
- Por la regla del punto medio0,332500000000
- Referencia, sobre dos mil franjas0,333333333333
- Cuánto se desvía Simpson-1,11022e-16
- Cuánto se desvía la regla del trapecio0,00166666666667
- Cuánto se desvía la regla del punto medio-0,00083333333333
- Anchura de cada franja0,1000000000
- Cómo la leyó la páginax^2
Limitaciones
- El cálculo se realiza íntegramente en su navegador. Los valores introducidos nunca se envían a un servidor.
- El resultado es una estimación basada solo en los valores introducidos. Las situaciones reales suelen incluir factores que esta calculadora desconoce.
Preguntas frecuentes
¿Por qué Simpson es tanto mejor?
Porque ajusta parábolas donde los otros dos ajustan rectas. La regla del trapecio une los extremos de cada franja con una cuerda, la del punto medio usa una recta horizontal por el medio, y ambas yerran en una cantidad proporcional al cuadrado de la anchura. Simpson ajusta una curva por tres puntos y yerra en una cantidad proporcional a la anchura a la cuarta: reducir la anchura a la mitad recorta el error a una dieciseisava parte en vez de a una cuarta. Compare los tres errores en la tabla: en una función suave, Simpson suele estar miles de veces más cerca por el mismo trabajo.
¿Qué es el valor de referencia?
La misma integral calculada por la regla de Simpson sobre dos mil franjas, que para cualquier función corriente está mucho más cerca de la verdad que el número de franjas que eligió. Está ahí para que los tres errores mostrados sean mediciones reales y no conjeturas. No es la respuesta exacta —nada numérico lo es— pero en una función suave suele acertar once o doce dígitos, suficiente para juzgar a los demás.