Calculateur de Séries de Taylor
Le polynôme de Taylor ou de Maclaurin d'une fonction, avec chaque coefficient et l'écart de l'approximation.
Résultats
Ce que fait cet outil
Une série de Taylor transforme toute fonction lisse en polynôme, le seul type de fonction qu'un ordinateur sache réellement évaluer — tous les sinus que votre calculatrice a produits en viennent. L'idée est simple : faire coïncider la valeur en un point, puis la pente, puis la courbure, puis la variation de la courbure, et ainsi de suite. Cette page calcule les dérivées exactement, construit le polynôme sous la forme croissante classique avec dénominateurs factoriels, et montre son écart à la vraie fonction en un point de votre choix.
Formule
f(x) ≈ Σₖ₌₀ⁿ f⁽ᵏ⁾(a) (x − a)ᵏ ÷ k! · a = 0 ⟹ Maclaurin
Variables
| Symbole | Signification | Unité |
|---|---|---|
expr | L'expression, en x | — |
centre | Centrer la série en | — |
order | Combien de termes (ordre) | — |
at | Comparer à la fonction en | — |
PL | La série | — |
TB | k · la dérivée d'ordre k · k! · le coefficient | — |
TV | Ce que vaut réellement la fonction là | — |
AV | Ce que donne la série là | — |
ER | De combien la série se trompe | — |
EP | La même chose en proportion | % |
MC | Est-ce une série de Maclaurin ? | — |
OR | Combien de termes (ordre) | — |
Exemple résolu
- L'expression, en xexp(x)
- Centrer la série en0
- Combien de termes (ordre)5
- Comparer à la fonction en0,5
- La série1 + x + x^2 / 2 + x^3 / 6 + x^4 / 24 + x^5 / 120
- k · la dérivée d'ordre k · k! · le coefficient0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 0.50000000 3 1 6 0.16666667 4 1 24 0.04166667 5 1 120 0.00833333
- Ce que vaut réellement la fonction là1,648721270700
- Ce que donne la série là1,648697916670
- De combien la série se trompe0,000023354033
- La même chose en proportion0,0014 %
- Est-ce une série de Maclaurin ?Oui
- Combien de termes (ordre)5
Limites
- Le calcul s'effectue entièrement dans votre navigateur. Les valeurs saisies ne sont jamais envoyées à un serveur.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre Taylor et Maclaurin ?
Seulement l'endroit où la série est centrée. Une série de Maclaurin est une série de Taylor centrée en zéro, et c'est toute la distinction — la formule est identique. Le centre compte parce que l'approximation est meilleure près de lui et se dégrade en s'éloignant : la série de l'exponentielle centrée en zéro est excellente en x = 0,1 et inutile en x = 10. Si le point qui vous intéresse est loin de zéro, centrez-y la série, et le même nombre de termes fera bien mieux.
Pourquoi l'erreur est-elle parfois grande ?
Parce qu'un polynôme de Taylor est une approximation locale, et deux choses l'aggravent : la distance au centre, et la présence d'une singularité proche. La série de 1/(1−x) centrée en zéro vaut exactement 1 + x + x² + … et ne converge que pour |x| < 1 — en x = 1 elle échoue totalement, car la fonction elle-même y explose. Ajouter des termes aide à l'intérieur du rayon de convergence et ne sert à rien en dehors. L'erreur affichée compare le polynôme à la vraie fonction au point choisi, pour que vous le voyiez arriver plutôt qu'on vous le raconte.