Calculadora de Equações Diferenciais
A solução exacta de uma equação linear de primeira ordem com coeficientes constantes, com o equilíbrio e a constante de tempo.
Resultados
O que faz esta ferramenta
Uma equação diferencial aparece mais do que todas as outras juntas: alguma coisa a mudar a um ritmo proporcional à distância a que está de onde quer chegar. Café a arrefecer, um condensador a carregar, um medicamento a sair do sangue, uma poupança com levantamentos regulares — todos a mesma forma, y′ + p·y = q. Esta página resolve-a exactamente e não por via numérica, dá o equilíbrio para onde o sistema vai, e indica a constante de tempo e a meia-vida que dizem com que rapidez lá chega. A verificação do declive lá em baixo substitui a resposta na equação original.
Fórmula
y′ + p y = q ⟹ y = q ÷ p + (y₀ − q ÷ p) e^(−p x)
Variáveis
| Símbolo | Significado | Unidade |
|---|---|---|
p | p, o coeficiente de y | — |
q | q, a constante do lado direito | — |
y0 | y quando x é zero | — |
at | Calcular o valor em x = | — |
SL | A solução | — |
VA | y nesse x | — |
EQ | Onde estabiliza | — |
KD | O que faz ao longo do tempo | — |
TC | Constante de tempo | — |
HL | Tempo para percorrer metade do que falta | — |
SS | A que ritmo muda no início | — |
CK | A equação conferida nesse x | — |
Exemplo resolvido
- p, o coeficiente de y0,5
- q, a constante do lado direito0
- y quando x é zero100
- Calcular o valor em x =2
- A soluçãoy = 100*exp(-0.5*x)
- y nesse x36,7879441171
- Onde estabiliza0,0000000000
- O que faz ao longo do tempoEstabiliza no equilíbrio
- Constante de tempo2,00000000
- Tempo para percorrer metade do que falta1,38629436
- A que ritmo muda no início-50,00000000
- A equação conferida nesse x-18,3939720586
Limitações
- O cálculo é feito inteiramente no seu navegador. Os valores que introduz nunca são enviados para um servidor.
- A fórmula assume condições ideais: sem perdas por atrito, sem resistência do ar e sem perdas de rendimento, a não ser que as introduza.
Perguntas frequentes
Que equações é que isto resolve?
Uma família, exactamente: y′ + p·y = q com p e q constantes. Parece pouco e não é, porque é a mesma equação do arrefecimento de Newton, de um condensador a carregar por uma resistência, de um medicamento a sair do sangue, de um depósito a encher enquanto esvazia, e de uma população a crescer contra uma colheita fixa. Todas têm a mesma forma — uma quantidade puxada para um equilíbrio a um ritmo proporcional à distância a que está dele — e esta página dá a resposta exacta em forma fechada, e não uma aproximação numérica. Equações em que p ou q dependem de x precisam de outro método e não são tratadas aqui.
O que é a constante de tempo?
Quanto tempo o sistema leva a percorrer uns 63 por cento da distância ao seu equilíbrio — um a dividir por p. É o relógio natural do processo: ao fim de uma constante de tempo sobram 37 por cento da distância, ao fim de três uns 5 por cento, e ao fim de cinco menos de um por cento, que é por isso que os engenheiros tratam cinco constantes de tempo como «estabilizado». A meia-vida ao lado é a mesma ideia medida de outra maneira: o tempo para percorrer exactamente metade do que falta, que são 0,693 vezes a constante de tempo.