Calculateur d'Équation Cubique
Les racines réelles de ax³ + bx² + cx + d = 0, par Cardan ou par la forme trigonométrique, chaque racine vérifiée.
Résultats
Ce que fait cet outil
Une cubique a toujours au moins une racine réelle — la courbe doit bien croiser l'axe quelque part — et peut en avoir trois. Les trouver exactement occupa les mathématiciens jusqu'au XVIᵉ siècle et produisit l'un des épisodes les plus étranges de l'histoire de l'algèbre : la formule qui marche pour trois racines réelles exige un détour par les nombres imaginaires. Cette page prend le chemin le plus court, en employant la méthode de Cardan là où elle se tient bien et la forme trigonométrique ailleurs, et réinjecte chaque racine dans votre équation pour que vous voyiez qu'il s'agit bien d'une racine.
Formule
x = y − b ÷ 3a ⟹ y³ + p y + q = 0 · Δ = (q ÷ 2)² + (p ÷ 3)³
Variables
| Symbole | Signification | Unité |
|---|---|---|
a | a | — |
b | b | — |
c | c | — |
d | d | — |
R1 | Racine x₁ | — |
R2 | Racine x₂ | — |
R3 | Troisième racine | — |
KD | Quel type de racines | — |
TB | Racine · ce que donne l'équation là | — |
NR | Racines réelles trouvées | — |
RS | Plus grand écart en réinjectant | — |
DS | Le discriminant | — |
SR | Les racines additionnées | — |
PP | p, après suppression du terme carré | — |
PQ | q, après suppression du terme carré | — |
Exemple résolu
- a1
- b-6
- c11
- d-6
- Racine x₁1,0000000000
- Racine x₂2,0000000000
- Troisième racine3,0000000000
- Quel type de racinesTrois racines réelles distinctes
- Racine · ce que donne l'équation là1 0 2 0 3 0
- Racines réelles trouvées3
- Plus grand écart en réinjectant8,88178e-16
- Le discriminant-0,0370370370
- Les racines additionnées6,0000000000
- p, après suppression du terme carré-1,0000000000
- q, après suppression du terme carré0,0000000000
Questions fréquentes
Pourquoi deux méthodes différentes ?
Parce que la formule de Cardan, malgré sa célébrité, échoue dans le cas qui intéresse le plus. Quand une cubique a trois racines réelles distinctes, le discriminant est négatif et la méthode de Cardan réclame la racine cubique d'un nombre complexe : les trois réponses réelles ne s'atteignent qu'en passant par les imaginaires et en revenant. Cette situation fut historiquement appelée le cas irréductible et embarrassa considérablement les mathématiciens du XVIᵉ siècle. La forme trigonométrique l'évite complètement : elle écrit les racines comme des cosinus d'un tiers d'angle et reste dans les réels. Cette page utilise Cardan quand il y a une racine réelle et la forme trigonométrique quand il y en a trois.
À quoi sert la colonne du résidu ?
Elle réinjecte chaque racine dans l'équation d'origine et montre ce qui en sort, qui devrait être zéro. Les formules des cubiques impliquent des racines cubiques et des compensations qui peuvent sérieusement perdre en précision : ce n'est donc pas une formalité — un résidu de 1e-15 signifie que la racine est aussi bonne que la virgule flottante le permet, tandis qu'un résidu de 1e-4 signifie que la réponse n'est qu'approchée et qu'il faut l'affiner par la méthode de Newton. L'afficher vous permet de juger au lieu de faire confiance.