Calculateur de Newton-Raphson
Une racine de toute fonction par la méthode de Newton, avec le tableau des itérations et un verdict honnête sur la convergence.
Résultats
Ce que fait cet outil
La plupart des équations ne se résolvent pas par l'algèbre, et la méthode de Newton est la façon dont on les résout : on part d'une estimation, on suit la tangente jusqu'à l'axe, et on s'y installe. Quand ça marche, c'est spectaculaire : le nombre de décimales justes double à chaque pas. Quand ça ne marche pas — pas de racine réelle, dérivée plate, mauvais point de départ — elle s'égare, et l'honnêteté est de le dire. Cette page montre chaque itération pour voir laquelle des deux se produit, et calcule la dérivée symboliquement plutôt que de l'approcher.
Formule
xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) ÷ f′(xₙ)
Variables
| Symbole | Signification | Unité |
|---|---|---|
expr | La fonction f(x) | — |
start | Partir de | — |
steps | Au plus tant de pas | — |
RT | La racine | — |
CV | A-t-elle convergé ? | — |
TB | Chaque étape du chemin | — |
RS | Ce que donne la fonction à cette racine | — |
SU | Pas réellement effectués | — |
DV | La dérivée utilisée | — |
IN | Comme la page l'a lue | — |
Exemple résolu
- La fonction f(x)x^2 - 2
- Partir de1
- Au plus tant de pas20
- La racine1,414213562370
- A-t-elle convergé ?Oui
- Chaque étape du chemin0 1 -1 2 1 1.5000000000 0.2500000000 3 2 1.4166666667 0.0069444444 2.8333333333 3 1.4142156863 0.0000060073 2.8284313726 4 1.4142135624 0 2.8284271248 5 1.4142135624 0 2.8284271248
- Ce que donne la fonction à cette racine4,44089e-16
- Pas réellement effectués6
- La dérivée utilisée2x
- Comme la page l'a luex^2 - 2
Limites
- Le calcul s'effectue entièrement dans votre navigateur. Les valeurs saisies ne sont jamais envoyées à un serveur.
Questions fréquentes
Pourquoi ne converge-t-il parfois pas ?
Parce que la méthode de Newton est rapide mais pas sûre. Elle suit la tangente jusqu'à l'axe et y saute, ce qui double le nombre de décimales correctes à chaque pas quand ça marche — et vous expédie à l'autre bout quand ça ne marche pas. Elle échoue s'il n'y a aucune racine réelle, si la dérivée est proche de zéro et la tangente presque plate, ou si le point de départ est du mauvais côté d'un extremum. Le tableau montre chaque pas, pour voir la convergence ou la fuite plutôt que de recevoir un nombre. Quand elle ne converge pas, la page le dit au lieu d'afficher la dernière valeur.
D'où vient la dérivée ?
Elle est obtenue symboliquement à partir de la fonction saisie, et non estimée à partir de points voisins. Cela compte : une dérivée par différences finies porte sa propre erreur, et près de la racine — où f est minuscule — cette erreur est proportionnellement énorme et peut empêcher la convergence jusqu'au bout de la précision. La dérivée employée est affichée pour que vous puissiez la vérifier, et c'est la même expression exacte que donnerait la page des dérivées.