Calculateur de la Transformée de Laplace
La transformée d'une fonction du temps, terme par terme, par la table habituelle et la linéarité.
Résultats
Ce que fait cet outil
La transformée de Laplace sort un problème du temps et l'emmène là où l'analyse devient de l'algèbre : dériver devient multiplier, intégrer devient diviser, et une équation différentielle devient quelque chose qu'on réarrange à la main. En pratique, personne ne calcule l'intégrale de définition — on reconnaît la forme et on consulte la table. Cette page fait exactement cela, terme par terme, en montrant à quelle entrée de la table chaque morceau correspond, et en signalant clairement tout terme dont la forme n'y figure pas plutôt que d'en inventer une.
Formule
1 → 1÷s · tⁿ → n! ÷ s^(n+1) · e^(at) → 1 ÷ (s − a) · sin(ωt) → ω ÷ (s² + ω²) · cos(ωt) → s ÷ (s² + ω²)
Variables
| Symbole | Signification | Unité |
|---|---|---|
expr | L'expression, en t | — |
FS | La transformée, en s | — |
KN | La forme a-t-elle été reconnue ? | — |
TB | Terme en t · ce qu'il devient en s | — |
NT | Termes | — |
IN | Comme la page l'a lue | — |
Exemple résolu
- L'expression, en t2t^2 + 3exp(-t)
- La transformée, en s4 / s^3 + 3 / (s + 1)
- La forme a-t-elle été reconnue ?Oui
- Terme en t · ce qu'il devient en s 2t^2 4 / s^3 3exp(-t) 3 / (s + 1)
- Termes2
- Comme la page l'a lue2t^2 + 3exp(-t)
Limites
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Questions fréquentes
Quelles formes traite-t-il ?
Celles de la table habituelle, combinées par linéarité : une constante, une puissance de t, une exponentielle, un sinus, un cosinus, un sinus hyperbolique et un cosinus hyperbolique — chacun avec un multiplicateur constant, et toute somme ou différence de ceux-ci. C'est ainsi qu'on enseigne la transformée et qu'on l'utilise : personne ne calcule l'intégrale de définition, on reconnaît la forme et on consulte la table. Ce que cette page ne fait pas : les théorèmes de décalage et d'échelle, la convolution, ou tout ce qui est multiplié par t au-delà des puissances simples. Quand elle rencontre un terme inconnu, elle le signale au lieu de deviner.
À quoi sert la transformée ?
Elle transforme l'analyse en algèbre. Dériver dans le temps devient multiplier par s, intégrer devient diviser par s — une équation différentielle qui exigerait des facteurs intégrants devient une équation ordinaire qu'on réarrange au crayon. On la résout dans le domaine s, puis on relit la réponse dans la table pour obtenir la fonction du temps. C'est pourquoi l'automatique et l'analyse de circuits vivent en s : un condensateur vaut 1/(sC), une bobine sL, et tout le circuit devient un problème de résistances.