Avaliação de Opções pela Árvore Binomial

Porque o Black-Scholes só avalia uma opção que se exerce no fim. A maior parte das opções sobre acções individuais pode ser exercida a qualquer momento, e essa liberdade a mais tem um valor que nenhuma fórmula fechada capta. A árvore trata disso naturalmente: em cada nó pergunta se exercer agora é melhor do que esperar, e fica com o melhor dos dois. Aumente os passos e o preço europeu converge para o Black-Scholes, o que é uma boa maneira de confirmar que a árvore está a funcionar — os dois valores aparecem lado a lado exactamente por isso.

Cinquenta chegam para ver a forma; umas centenas chegam para a resposta parar de se mexer na quarta casa decimal. A convergência não é suave — oscila acima e abaixo do valor verdadeiro à medida que os passos aumentam, porque importa se um nó cai ou não exactamente sobre o preço de exercício. É por isso que duplicar os passos às vezes faz a resposta parecer pior antes de melhorar. Se estiver a comparar com o Black-Scholes, use várias centenas e olhe para a tendência e não para um valor isolado.

Que a volatilidade é um único número constante durante toda a vida da opção, que a acção não paga dividendo, que se pode pedir e emprestar livremente à taxa sem risco, e que negociar não custa nada. Nada disto é verdade. A volatilidade em particular não é observável — o valor que escreve é uma previsão, e o preço que sai só vale tanto quanto ela. Os mercados reais de opções avaliam preços de exercício diferentes com volatilidades implícitas diferentes justamente porque o pressuposto do modelo não se verifica.