Valorisation d'Options par Arbre Binomial
Valeur d'une option par un arbre de Cox-Ross-Rubinstein, exercice anticipé américain compris, avec Black-Scholes à côté.
Résultats
Ce que fait cet outil
Le modèle binomial valorise une option en découpant sa vie en pas et en laissant l'action monter ou descendre à chacun, puis en remontant de toutes les fins possibles jusqu'à aujourd'hui. Il est plus lent que Black-Scholes et bien plus souple : comme il repasse par chaque nœud, il peut demander si exercer plus tôt vaudrait mieux qu'attendre — ce qu'aucune formule fermée ne fait. Mettez beaucoup de pas et le prix européen converge vers Black-Scholes, affiché à côté. L'écart entre la valeur américaine et l'européenne est ce que vaut le droit d'agir plus tôt.
Formule
Cox-Ross-Rubinstein : u = e^(σ√Δt), d = 1÷u, p = (e^(rΔt) − d) ÷ (u − d) · induction à rebours dans l'arbre
Variables
| Symbole | Signification | Unité |
|---|---|---|
spot | Prix actuel | — |
strike | Prix d'exercice | — |
rate | Taux sans risque | % |
vol | Volatilité | % |
years | Années | — |
steps | Pas de l'arbre | — |
kind | Achat ou vente | — |
style | Quand elle peut être exercée | — |
OP | Ce que vaut l'option | — |
BS | Black-Scholes, pour comparer | — |
GP | Écart au Black-Scholes | — |
EU | La même option, exerçable seulement à la fin | — |
EP | Ce que vaut l'exercice anticipé | — |
IV | Valeur intrinsèque | — |
TV | Valeur qui n'est que du temps | — |
UF | Pas vers le haut | — |
DF | Pas vers le bas | — |
RP | Probabilité risque-neutre de monter | % |
SY | Durée d'un pas | — |
NS | Pas | — |
Exemple résolu
- Prix actuel100
- Prix d'exercice100
- Taux sans risque5 %
- Volatilité20 %
- Années1
- Pas de l'arbre50
- Achat ou ventecall
- Quand elle peut être exercéeeuropean
- Ce que vaut l'option10,4107
- Black-Scholes, pour comparer10,4506
- Écart au Black-Scholes-0,0399
- La même option, exerçable seulement à la fin10,4107
- Ce que vaut l'exercice anticipé0,0000
- Valeur intrinsèque0,0000
- Valeur qui n'est que du temps10,4107
- Pas vers le haut1,028688
- Pas vers le bas0,972112
- Probabilité risque-neutre de monter51,0614 %
- Durée d'un pas0,020000
- Pas50
Limites
- Il s'agit d'une calculatrice informative, pas d'un conseil financier personnalisé. Taux, frais, impôts et conditions contractuelles varient selon les établissements et les pays.
- Le résultat est une estimation fondée uniquement sur les valeurs saisies. Les situations réelles comportent souvent des facteurs que cette calculatrice ignore.
- L'outil utilise la devise de vos saisies ; il ne convertit pas entre devises.
Questions fréquentes
Pourquoi un arbre puisque Black-Scholes existe ?
Parce que Black-Scholes ne valorise qu'une option exerçable à la fin. La plupart des options sur actions individuelles peuvent être exercées à tout moment, et cette liberté supplémentaire a une valeur qu'aucune formule fermée ne capte. L'arbre la traite naturellement : à chaque nœud, il demande si exercer maintenant vaut mieux qu'attendre, et retient le meilleur des deux. Augmentez les pas et le prix européen converge vers Black-Scholes, ce qui confirme que l'arbre fonctionne — les deux chiffres sont affichés côte à côte précisément pour cela.
Combien de pas faut-il utiliser ?
Cinquante suffisent pour voir la forme ; quelques centaines suffisent pour que la réponse cesse de bouger à la quatrième décimale. La convergence n'est pas lisse : elle oscille au-dessus et en dessous de la vraie valeur quand les pas augmentent, car il importe qu'un nœud tombe ou non exactement sur le prix d'exercice. C'est pourquoi doubler les pas fait parfois paraître la réponse moins bonne avant qu'elle ne s'améliore. Si vous comparez à Black-Scholes, utilisez plusieurs centaines et regardez la tendance plutôt qu'un chiffre isolé.
Que suppose le modèle ?
Que la volatilité est un nombre unique et constant sur toute la vie de l'option, que l'action ne verse pas de dividende, qu'on peut emprunter et prêter librement au taux sans risque, et que négocier ne coûte rien. Rien de tout cela n'est vrai. La volatilité en particulier n'est pas observable — le chiffre que vous saisissez est une prévision, et le prix obtenu ne vaut que ce qu'elle vaut. Les marchés d'options réels valorisent différents prix d'exercice à des volatilités implicites différentes précisément parce que l'hypothèse du modèle ne tient pas.