Calculadora de Newton-Raphson
Uma raiz de qualquer função pelo método de Newton, com a tabela das iterações e um veredicto honesto sobre a convergência.
Resultados
O que faz esta ferramenta
A maior parte das equações não se resolve com álgebra, e o método de Newton é como se resolvem: fica-se num palpite, segue-se a recta tangente até ao eixo, e passa-se a estar ali. Quando funciona é espectacular, duplicando o número de algarismos certos a cada passo. Quando não funciona — sem raiz real, com a derivada deitada, com um ponto de partida mau — foge, e o honesto é dizê-lo. Esta página mostra todas as iterações para ver qual dos dois está a acontecer, e calcula a derivada simbolicamente em vez de a aproximar.
Fórmula
xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) ÷ f′(xₙ)
Variáveis
| Símbolo | Significado | Unidade |
|---|---|---|
expr | A função f(x) | — |
start | Começar em | — |
steps | No máximo estes passos | — |
RT | A raiz | — |
CV | Convergiu? | — |
TB | Todos os passos do caminho | — |
RS | Quanto a função dá nessa raiz | — |
SU | Passos que levou de facto | — |
DV | A derivada que usou | — |
IN | Como a página a leu | — |
Exemplo resolvido
- A função f(x)x^2 - 2
- Começar em1
- No máximo estes passos20
- A raiz1,414213562370
- Convergiu?Sim
- Todos os passos do caminho0 1 -1 2 1 1.5000000000 0.2500000000 3 2 1.4166666667 0.0069444444 2.8333333333 3 1.4142156863 0.0000060073 2.8284313726 4 1.4142135624 0 2.8284271248 5 1.4142135624 0 2.8284271248
- Quanto a função dá nessa raiz4,44089e-16
- Passos que levou de facto6
- A derivada que usou2x
- Como a página a leux^2 - 2
Limitações
- O cálculo é feito inteiramente no seu navegador. Os valores que introduz nunca são enviados para um servidor.
Perguntas frequentes
Porque é que às vezes não converge?
Porque o método de Newton é rápido mas não é seguro. Segue a recta tangente até ao eixo e salta para lá, o que duplica o número de algarismos certos a cada passo quando funciona — e o atira para o outro lado do país quando não funciona. Falha quando não há raiz real nenhuma, quando a derivada está perto de zero e a tangente fica quase deitada, ou quando o palpite inicial está do lado errado de um máximo ou mínimo. A tabela mostra todos os passos, para ver a convergir ou a fugir em vez de receber só um número. Quando não converge, a página di-lo em vez de mostrar o último valor.
De onde vem a derivada?
É obtida simbolicamente a partir da função que escreveu, e não estimada de pontos próximos. Isso conta: uma derivada tirada por diferenças finitas traz o seu próprio erro, e perto da raiz — onde f é minúsculo — esse erro é proporcionalmente enorme e pode impedir o método de convergir até ao fim da precisão. A derivada usada aparece para poder conferi-la, e é a mesma expressão exacta que a página das derivadas lhe daria.