Calculateur de la Méthode de Dichotomie
Une racine trouvée en coupant l'intervalle en deux à répétition, avec tous les pas et la confirmation qu'elle s'y trouve.
Résultats
Ce que fait cet outil
La dichotomie est la méthode de recherche de racine la plus sûre qui soit, et la plus lente. Si une fonction continue est négative à un bout de l'intervalle et positive à l'autre, il y a forcément une racine entre les deux : on coupe l'intervalle en deux, on garde la moitié où le signe change encore, et on recommence. Chaque pas divise l'incertitude par deux, et elle ne peut jamais diverger ni dépasser. Cette page l'exécute pas à pas et montre l'intervalle qui rétrécit ; si la fonction ne change pas de signe sur votre intervalle, elle le dit, car il n'y a alors rien à trouver.
Formule
f(a) × f(b) < 0 · m = (a + b) ÷ 2 · |b − a|ₙ = |b − a|₀ ÷ 2ⁿ
Variables
| Symbole | Signification | Unité |
|---|---|---|
expr | La fonction f(x) | — |
lower | Intervalle de | — |
upper | Intervalle à | — |
steps | Au plus tant de pas | — |
RT | La racine | — |
BR | Le signe change-t-il à l'intérieur ? | — |
TB | Chaque étape du chemin | — |
RS | Ce que donne la fonction à cette racine | — |
SU | Pas réellement effectués | — |
WD | Largeur d'intervalle restante | — |
IN | Comme la page l'a lue | — |
Exemple résolu
- La fonction f(x)x^2 - 2
- Intervalle de0
- Intervalle à2
- Au plus tant de pas40
- La racine1,414213562370
- Le signe change-t-il à l'intérieur ?Oui
- Chaque étape du chemin 0 0 2 1 -1 1 1 2 1.5000000000 0.2500000000 2 1 1.5000000000 1.2500000000 -0.4375000000 3 1.2500000000 1.5000000000 1.3750000000 -0.1093750000 4 1.3750000000 1.5000000000 1.4375000000 0.0664062500 5 1.3750000000 1.4375000000 1.4062500000 -0.0224609375 6 1.4062500000 1.4375000000 1.4218750000 0.0217285156 7 1.4062500000 1.4218750000 1.4140625000 -0.0004272461 8 1.4140625000 1.4218750000 1.4179687500 0.0106353760 9 1.4140625000 1.4179687500 1.4160156250 0.0051002502 10 1.4140625000 1.4160156250 1.4150390625 0.0023355484 11 1.4140625000 1.4150390625 1.4145507813 0.0009539127 12 1.4140625000 1.4145507813 1.4143066406 0.0002632737 13 1.4140625000 1.4143066406 1.4141845703 -0.0000820011 14 1.4141845703 1.4143066406 1.4142456055 0.0000906326 15 1.4141845703 1.4142456055 1.4142150879 0.0000043148 16 1.4141845703 1.4142150879 1.4141998291 -0.0000388434 17 1.4141998291 1.4142150879 1.4142074585 -0.0000172643 18 1.4142074585 1.4142150879 1.4142112732 -0.0000064748 19 1.4142112732 1.4142150879 1.4142131805 -0.0000010800 20 1.4142131805 1.4142150879 1.4142141342 0.0000016174 21 1.4142131805 1.4142141342 1.4142136574 0.0000002687 22 1.4142131805 1.4142136574 1.4142134190 -0.0000004056 23 1.4142134190 1.4142136574 1.4142135382 -0.0000000685 24 1.4142135382 1.4142136574 1.4142135978 0.0000001001 25 1.4142135382 1.4142135978 1.4142135680 0.0000000158 26 1.4142135382 1.4142135680 1.4142135531 -0.0000000263 27 1.4142135531 1.4142135680 1.4142135605 -0.0000000052 28 1.4142135605 1.4142135680 1.4142135643 0.0000000053 29 1.4142135605 1.4142135643 1.4142135624 0 30 1.4142135605 1.4142135624 1.4142135615 -0.0000000026 31 1.4142135615 1.4142135624 1.4142135619 -0.0000000013 32 1.4142135619 1.4142135624 1.4142135622 0 33 1.4142135622 1.4142135624 1.4142135623 0 34 1.4142135623 1.4142135624 1.4142135623 0 35 1.4142135623 1.4142135624 1.4142135624 0 36 1.4142135624 1.4142135624 1.4142135624 0 37 1.4142135624 1.4142135624 1.4142135624 0 38 1.4142135624 1.4142135624 1.4142135624 0 39 1.4142135624 1.4142135624 1.4142135624 0
- Ce que donne la fonction à cette racine-4,46954e-12
- Pas réellement effectués40
- Largeur d'intervalle restante1,81899e-12
- Comme la page l'a luex^2 - 2
Limites
- Le calcul s'effectue entièrement dans votre navigateur. Les valeurs saisies ne sont jamais envoyées à un serveur.
Questions fréquentes
Pourquoi est-elle plus lente que la méthode de Newton ?
Parce qu'elle ne fait que couper l'intervalle en deux, ce qui gagne environ un chiffre binaire par pas — en gros un chiffre décimal tous les trois pas et quelques. Newton double les décimales justes à chaque pas quand il se tient bien. L'échange vaut la peine quand la fiabilité prime sur la vitesse : la dichotomie ne peut pas échouer si la fonction change de signe sur l'intervalle et y est continue. Elle n'a besoin d'aucune dérivée, ne dépasse jamais, et converge toujours. C'est la méthode qu'on emploie quand il faut obtenir une réponse, pas une réponse rapide.
Que signifie « pas de changement de signe » ?
Que la fonction a le même signe aux deux bouts de votre intervalle : la méthode n'a alors aucune prise — elle ne peut pas savoir qu'une racine s'y trouve. Soit il n'y en a réellement aucune, soit il y en a un nombre pair et elles se compensent du point de vue du signe. Élargissez l'intervalle, ou resserrez-le autour de l'endroit où vous pensez que la courbe croise, et regardez le graphe si possible. La page refuse de renvoyer un nombre dans ce cas plutôt que de renvoyer un milieu dénué de sens.