Calculatrice de Dérangements (Père Noël Secret et Problème des Chapeaux)
De combien de façons n personnes peuvent chacune tirer le nom d'une autre, et la probabilité qu'un tirage au hasard convienne du premier coup.
Résultats
La ligne en pointillé marque la valeur que vous avez saisie.
Ce que fait cet outil
Un dérangement est une permutation où personne ne reste à sa propre place : un tirage de Père Noël secret où nul ne tire son propre nom, ou des chapeaux rendus au hasard sans que personne récupère le sien. Le nombre de cas est l'entier le plus proche de n! ÷ e, et la probabilité avoisine 1 ÷ e = 36,8 % presque quelle que soit la taille du groupe : 37,5 % avec 4 personnes, 36,79 % avec 10. Un tirage au hasard échoue donc presque deux fois sur trois et il faut en moyenne environ 2,7 tirages, d'où l'habitude de recommencer jusqu'à ce que ça marche. Un groupe d'une seule personne n'a aucun arrangement valable.
Formule
!n = n! Σₖ (−1)ᵏ ÷ k! = round(n! ÷ e) · chance = !n ÷ n! → 1 ÷ e ≈ 36.8 %
Variables
| Symbole | Signification | Unité |
|---|---|---|
n | Nombre de personnes (ou d'objets) | — |
D | Arrangements où personne n'a le sien | — |
TT | Tous les arrangements possibles | — |
P | Probabilité que personne n'ait le sien | % |
PA | Probabilité qu'au moins une personne ait le sien | % |
TR | Nombre moyen de tirages avant d'en avoir un valable | — |
Exemple résolu
- Nombre de personnes (ou d'objets)8
- Arrangements où personne n'a le sien14 833
- Tous les arrangements possibles40 320
- Probabilité que personne n'ait le sien36,788 %
- Probabilité qu'au moins une personne ait le sien63,212 %
- Nombre moyen de tirages avant d'en avoir un valable2,72
Limites
- Le calcul est mené en pleine précision et seul l'affichage est arrondi. Si vous recopiez une valeur intermédiaire, de petits écarts peuvent apparaître.
- Les valeurs par défaut sont des références typiques, pas des mesures de votre situation. Remplacez-les par vos propres données dès que possible.