Calculadora de Desarranjos (Amigo Secreto e o Problema dos Chapéus)
De quantas maneiras n pessoas podem tirar cada uma o nome de outra, e a probabilidade de um sorteio ao acaso servir à primeira.
Resultados
A linha tracejada marca o valor que escreveu.
O que faz esta ferramenta
Um desarranjo é uma troca em que ninguém fica no seu próprio lugar — um sorteio de amigo secreto em que ninguém tira o próprio nome, ou chapéus devolvidos ao acaso sem que ninguém receba o seu. O número de casos é o inteiro mais próximo de n! ÷ e, e a probabilidade anda por 1 ÷ e = 36,8 % quase seja qual for o tamanho do grupo: com 4 pessoas é 37,5 % e com 10 é 36,79 %. Por isso um sorteio ao acaso falha quase duas vezes em cada três, e em média são precisos cerca de 2,7 sorteios, que é a razão de se repetir até dar certo. Um grupo de uma só pessoa não tem arranjo possível.
Fórmula
!n = n! Σₖ (−1)ᵏ ÷ k! = round(n! ÷ e) · chance = !n ÷ n! → 1 ÷ e ≈ 36.8 %
Variáveis
| Símbolo | Significado | Unidade |
|---|---|---|
n | Número de pessoas (ou objetos) | — |
D | Arranjos em que ninguém fica com o seu | — |
TT | Todos os arranjos possíveis | — |
P | Probabilidade de ninguém ficar com o seu | % |
PA | Probabilidade de pelo menos uma pessoa ficar com o seu | % |
TR | Número médio de sorteios até um servir | — |
Exemplo resolvido
- Número de pessoas (ou objetos)8
- Arranjos em que ninguém fica com o seu14 833
- Todos os arranjos possíveis40 320
- Probabilidade de ninguém ficar com o seu36,788 %
- Probabilidade de pelo menos uma pessoa ficar com o seu63,212 %
- Número médio de sorteios até um servir2,72
Limitações
- O cálculo é feito com precisão total e apenas a apresentação é arredondada. Se copiar um valor intermédio e voltar a escrevê-lo, podem surgir pequenas diferenças.
- Os valores por defeito são referências típicas e não medições da sua situação. Substitua-os pelos seus próprios dados sempre que os tiver.