Calculatrice de dilatation gravitationnelle du temps (horloges GPS)
Combien de microsecondes par jour une horloge gagne en altitude grâce à une gravité plus faible, combien elle en perd à cause de la vitesse orbitale, et la dérive totale d'une horloge sur cette orbite.
Résultats
Ce que fait cet outil
La relativité générale dit que les horloges vont plus vite là où la gravité est plus faible. Pour les satellites GPS, à environ 20 200 km d'altitude, ce gain est d'à peu près 45,7 microsecondes par jour, tandis que leur vitesse de près de 3,9 km/s les ralentit d'environ 7,2, soit un gain net proche de 38,5 µs par jour. Sans correction, les positions dériveraient de plus de 10 km par jour ; les horloges des satellites sont donc réglées volontairement pour battre un peu plus lentement avant le lancement. L'horloge au sol est supposée immobile à la surface : la rotation de la Terre, qui ajoute environ 0,1 µs par jour à l'équateur, est ignorée, et l'orbite est supposée circulaire.
Formule
τ/t = √(1 − 2GM ÷ rc²) · orbit: √(1 − 2GM ÷ rc² − v² ÷ c²), v² = GM ÷ r
Variables
| Symbole | Signification | Unité |
|---|---|---|
mm | Masse de la planète | kg |
rr | Rayon de la planète | km |
h | Altitude | km |
GD | Avance de l'horloge due à la gravité plus faible | µs/day |
VD | Retard de l'horloge dû à la vitesse orbitale (orbite circulaire) | µs/day |
NT | Dérive totale d'une horloge sur cette orbite | µs/day |
OV | Vitesse d'une orbite circulaire à cet endroit | km/s |
Exemple résolu
- Masse de la planète5,972e+24 kg
- Rayon de la planète6371 km
- Altitude20 200 km
- Avance de l'horloge due à la gravité plus faible45,72 µs/day
- Retard de l'horloge dû à la vitesse orbitale (orbite circulaire)-7,21 µs/day
- Dérive totale d'une horloge sur cette orbite38,51 µs/day
- Vitesse d'une orbite circulaire à cet endroit3,873 km/s
Limites
- La formule suppose des conditions idéales : pas de frottement, pas de résistance de l'air et pas de pertes de rendement sauf si vous les saisissez.
- Les valeurs par défaut sont des références typiques, pas des mesures de votre situation. Remplacez-les par vos propres données dès que possible.