Calculadora de Derivadas com Passos
A derivada exacta de uma função, termo a termo, com o nome da regra usada em cada passo.
Resultados
O que faz esta ferramenta
Derivar é mecânico: há uma regra para cada forma que uma expressão pode ter, e aplicá-las pela ordem certa funciona sempre. O que dá trabalho é ver que regra se aplica onde. Esta página lê a sua função para uma árvore, aplica as regras exactamente como um manual as enuncia — soma, produto, quociente, cadeia, potência — e mostra qual usou em cada termo. A resposta é álgebra simbólica exacta e não uma estimativa numérica, e é por isso que lida com coisas como x^x que nenhuma aproximação acertaria.
Fórmula
(u ± v)′ = u′ ± v′ · (u v)′ = u′v + u v′ · (u ÷ v)′ = (u′v − u v′) ÷ v² · f(u)′ = f′(u) u′ · (uⁿ)′ = n uⁿ⁻¹ u′
Variáveis
| Símbolo | Significado | Unidade |
|---|---|---|
expr | A expressão, em x | — |
order | Que derivada | — |
at | Calcular o valor em x = | — |
DV | A derivada | — |
ST | Termo · regra usada · a sua derivada | — |
D1 | Primeira derivada | — |
D2 | Segunda derivada | — |
VD | A derivada nesse ponto | — |
VF | A função nesse ponto | — |
V2 | A segunda derivada aí | — |
TG | Recta tangente nesse ponto | — |
IN | Como a página a leu | — |
NT | Termos | — |
Exemplo resolvido
- A expressão, em x3x^2 + sin(2x) - ln(x)
- Que derivada1
- Calcular o valor em x =1
- A derivada6x + 2cos(2x) - 1 / x
- Termo · regra usada · a sua derivada 3x^2 (c*u)' = c*u' 6x sin(2x) (sin u)' = cos(u)*u' 2cos(2x) -ln(x) (ln u)' = u' / u -1 / x
- Primeira derivada6x + 2cos(2x) - 1 / x
- Segunda derivada6 - 4sin(2x) + 1 / x^2
- A derivada nesse ponto4,1677063269
- A função nesse ponto3,9092974268
- A segunda derivada aí3,3628102927
- Recta tangente nesse pontoy = 4.1677063269x - 0.2584089001
- Como a página a leu3x^2 + sin(2x) - ln(x)
- Termos3
Limitações
- O cálculo é feito inteiramente no seu navegador. Os valores que introduz nunca são enviados para um servidor.
Perguntas frequentes
Como escrevo a função?
Como escreveria no papel, com umas quantas convenções. Use x para a variável e ^ para as potências. A multiplicação pode ficar subentendida onde é óbvia: 3x, 2sin(x) e x(x+1) são todos entendidos. As funções disponíveis são sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, sinh, cosh e tanh, e cada uma precisa dos seus parêntesis: sin(2x), e não sin 2x. As constantes pi e e são reconhecidas. Se a página disser que não conhece uma letra, essa letra não é o x nem um daqueles nomes de função — uma causa comum é escrever um problema em t numa página que trabalha em x.
Isto é uma aproximação?
Não. A página lê a sua expressão para uma árvore e aplica as regras de derivação a essa árvore — as mesmas regras que aplicaria à mão, pela mesma ordem. O resultado é álgebra simbólica exacta, e não uma estimativa numérica tirada de pontos próximos. É por isso que consegue derivar x^x correctamente, coisa que um método numérico só aproximaria. O único sítio onde a vírgula flutuante entra é quando pede o valor num ponto, e aí é aritmética normal.
Porque é que a resposta não aparece factorizada?
Porque a página simplifica mas não factoriza, e a distinção importa. Junta um polinómio na sua forma normal, corta os zeros e os uns, resolve a aritmética entre números e escreve os decimais desagradáveis como fracções — logo x^6/6 e não 0,1666666667x^6. O que não faz é reparar que 2x·exp(x) + x²·exp(x) se pode escrever x·exp(x)(2 + x), porque decidir qual é a factorização mais bonita é um juízo e não uma regra. A forma que vê é o que a regra do produto produz de facto, que é também o que quem corrige espera ver antes de qualquer arrumação.