Calculadora de Forma Polar de Números Complexos
Um número complexo nas duas formas, com módulo, argumento, conjugado, potências por De Moivre e todas as suas raízes.
Resultados
O que faz esta ferramenta
Um número complexo pode escrever-se de duas maneiras: como um par de coordenadas, ou como um comprimento e um ângulo. A primeira é natural para somar, a segunda para multiplicar — na forma polar, multiplicar é multiplicar os comprimentos e somar os ângulos, e elevar a uma potência passa a ser quase trivial. Esta página converte nos dois sentidos, dá o módulo e o argumento em graus e em radianos, aplica o teorema de De Moivre para qualquer potência até vinte, e lista as n raízes distintas, que ficam a ângulos iguais à volta de um círculo.
Fórmula
r = √(a² + b²) · θ = atan2(b, a) · (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ · ⁿ√(r∠θ) = ⁿ√r ∠ (θ + 360°k) ÷ n
Variáveis
| Símbolo | Significado | Unidade |
|---|---|---|
mode | Sentido | — |
real | Parte real a | — |
imag | Parte imaginária b | — |
modulus | Comprimento r | — |
argument | Ângulo | — |
unit | O ângulo está em | — |
power | Elevar à potência | — |
OU | A outra forma | — |
RC | Como a + bi | — |
PL | Como comprimento e ângulo | — |
MO | Módulo, a distância a zero | — |
AD | Argumento em graus | — |
AR | Argumento em radianos | — |
PR | Parte real depois da potência | — |
PI | Parte imaginária depois da potência | — |
PM | Módulo depois da potência | — |
RT | Número da raiz · parte real · parte imaginária · ângulo | — |
CJ | O conjugado | — |
Exemplo resolvido
- Sentidoto_polar
- Parte real a3
- Parte imaginária b4
- Comprimento r5
- Ângulo53,1301
- O ângulo está emdeg
- Elevar à potência2
- A outra forma5(cos 53.1301023542 + i sin 53.1301023542)
- Como a + bi3 + 4i
- Como comprimento e ângulo5(cos 53.1301023542 + i sin 53.1301023542)
- Módulo, a distância a zero5,0000000000
- Argumento em graus53,13010235
- Argumento em radianos0,9272952180
- Parte real depois da potência-7,0000000000
- Parte imaginária depois da potência24,0000000000
- Módulo depois da potência25,0000000000
- Número da raiz · parte real · parte imaginária · ângulo0 2 1 26.565051 1 -2 -1 206.565051
- O conjugado3 - 4i
Perguntas frequentes
Porque é que a forma polar existe sequer?
Porque torna a multiplicação trivial. Na forma cartesiana, multiplicar dois complexos são quatro produtos e uma contabilidade cuidadosa dos sinais; na forma polar multiplicam-se os dois comprimentos e somam-se os dois ângulos, e é essa a operação toda. Elevar a uma potência passa a ser elevar um número a essa potência e multiplicar um ângulo por ela, que é o teorema de De Moivre. Com a soma é ao contrário — fácil na cartesiana, incómoda na polar — e é por isso que as duas formas continuam em uso e que converter entre elas é um passo de rotina e não uma curiosidade.
O que são as raízes na tabela?
As raízes de índice n do seu número, todas elas. Um número real positivo tem uma raiz quadrada real em que normalmente se pensa; um número complexo tem exactamente n raízes de índice n distintas, e elas ficam a ângulos iguais à volta de um círculo, como as pontas de uma estrela. As raízes cúbicas de 1, por exemplo, são 1 e outras duas a 120 e a 240 graus — e é por isso que uma cúbica tem sempre três raízes mesmo quando só uma delas é real. A tabela dá as coordenadas cartesianas de cada raiz e o seu ângulo.