Calculadora do Método da Bissecção
Uma raiz encontrada partindo um intervalo ao meio repetidamente, com todos os passos e a confirmação de que o intervalo a contém.
Resultados
O que faz esta ferramenta
A bissecção é o método mais seguro que há para encontrar raízes, e o mais lento. Se uma função contínua é negativa numa ponta do intervalo e positiva na outra, tem de haver uma raiz algures pelo meio — então corta-se o intervalo a meio, fica-se com a metade onde o sinal ainda muda, e repete-se. Cada passo reduz a incerteza a metade, e nunca pode divergir nem ultrapassar. Esta página corre-o passo a passo e mostra o intervalo a encolher; se a função não mudar de sinal no seu intervalo, di-lo, porque aí não há nada para encontrar.
Fórmula
f(a) × f(b) < 0 · m = (a + b) ÷ 2 · |b − a|ₙ = |b − a|₀ ÷ 2ⁿ
Variáveis
| Símbolo | Significado | Unidade |
|---|---|---|
expr | A função f(x) | — |
lower | Intervalo de | — |
upper | Intervalo até | — |
steps | No máximo estes passos | — |
RT | A raiz | — |
BR | O sinal muda lá dentro? | — |
TB | Todos os passos do caminho | — |
RS | Quanto a função dá nessa raiz | — |
SU | Passos que levou de facto | — |
WD | Largura do intervalo que ainda sobra | — |
IN | Como a página a leu | — |
Exemplo resolvido
- A função f(x)x^2 - 2
- Intervalo de0
- Intervalo até2
- No máximo estes passos40
- A raiz1,414213562370
- O sinal muda lá dentro?Sim
- Todos os passos do caminho 0 0 2 1 -1 1 1 2 1.5000000000 0.2500000000 2 1 1.5000000000 1.2500000000 -0.4375000000 3 1.2500000000 1.5000000000 1.3750000000 -0.1093750000 4 1.3750000000 1.5000000000 1.4375000000 0.0664062500 5 1.3750000000 1.4375000000 1.4062500000 -0.0224609375 6 1.4062500000 1.4375000000 1.4218750000 0.0217285156 7 1.4062500000 1.4218750000 1.4140625000 -0.0004272461 8 1.4140625000 1.4218750000 1.4179687500 0.0106353760 9 1.4140625000 1.4179687500 1.4160156250 0.0051002502 10 1.4140625000 1.4160156250 1.4150390625 0.0023355484 11 1.4140625000 1.4150390625 1.4145507813 0.0009539127 12 1.4140625000 1.4145507813 1.4143066406 0.0002632737 13 1.4140625000 1.4143066406 1.4141845703 -0.0000820011 14 1.4141845703 1.4143066406 1.4142456055 0.0000906326 15 1.4141845703 1.4142456055 1.4142150879 0.0000043148 16 1.4141845703 1.4142150879 1.4141998291 -0.0000388434 17 1.4141998291 1.4142150879 1.4142074585 -0.0000172643 18 1.4142074585 1.4142150879 1.4142112732 -0.0000064748 19 1.4142112732 1.4142150879 1.4142131805 -0.0000010800 20 1.4142131805 1.4142150879 1.4142141342 0.0000016174 21 1.4142131805 1.4142141342 1.4142136574 0.0000002687 22 1.4142131805 1.4142136574 1.4142134190 -0.0000004056 23 1.4142134190 1.4142136574 1.4142135382 -0.0000000685 24 1.4142135382 1.4142136574 1.4142135978 0.0000001001 25 1.4142135382 1.4142135978 1.4142135680 0.0000000158 26 1.4142135382 1.4142135680 1.4142135531 -0.0000000263 27 1.4142135531 1.4142135680 1.4142135605 -0.0000000052 28 1.4142135605 1.4142135680 1.4142135643 0.0000000053 29 1.4142135605 1.4142135643 1.4142135624 0 30 1.4142135605 1.4142135624 1.4142135615 -0.0000000026 31 1.4142135615 1.4142135624 1.4142135619 -0.0000000013 32 1.4142135619 1.4142135624 1.4142135622 0 33 1.4142135622 1.4142135624 1.4142135623 0 34 1.4142135623 1.4142135624 1.4142135623 0 35 1.4142135623 1.4142135624 1.4142135624 0 36 1.4142135624 1.4142135624 1.4142135624 0 37 1.4142135624 1.4142135624 1.4142135624 0 38 1.4142135624 1.4142135624 1.4142135624 0 39 1.4142135624 1.4142135624 1.4142135624 0
- Quanto a função dá nessa raiz-4,46954e-12
- Passos que levou de facto40
- Largura do intervalo que ainda sobra1,81899e-12
- Como a página a leux^2 - 2
Limitações
- O cálculo é feito inteiramente no seu navegador. Os valores que introduz nunca são enviados para um servidor.
Perguntas frequentes
Porque é mais lento do que o método de Newton?
Porque só parte o intervalo ao meio, o que dá cerca de um algarismo binário por passo — grosso modo um algarismo decimal a cada três passos e pouco. O Newton duplica os algarismos certos a cada passo quando se porta bem. A troca compensa quando a fiabilidade conta mais do que a velocidade: a bissecção não pode falhar se a função mudar de sinal ao longo do intervalo e for contínua. Não precisa de derivada, nunca ultrapassa, e converge sempre. É o método que se usa quando é preciso obter uma resposta e não uma resposta rápida.
O que quer dizer «não há mudança de sinal»?
Que a função tem o mesmo sinal nas duas pontas do seu intervalo, portanto o método não tem por onde pegar — não pode saber que há lá uma raiz. Ou não há mesmo nenhuma, ou há um número par delas e anulam-se no que ao sinal diz respeito. Alargue o intervalo, ou aperte-o à volta de onde acha que está a passagem, e olhe para o gráfico se puder. A página recusa-se a devolver um número neste caso em vez de devolver um ponto médio sem significado.