Calculateur de Forme Polaire des Nombres Complexes
Un nombre complexe sous les deux formes, avec module, argument, conjugué, puissances par De Moivre et toutes ses racines.
Résultats
Ce que fait cet outil
Un nombre complexe s'écrit de deux façons : comme un couple de coordonnées, ou comme une longueur et un angle. La première est naturelle pour additionner, la seconde pour multiplier — en forme polaire, multiplier revient à multiplier les longueurs et additionner les angles, et élever à une puissance devient presque trivial. Cette page convertit dans les deux sens, donne le module et l'argument en degrés et en radians, applique le théorème de De Moivre pour toute puissance jusqu'à vingt, et liste les n racines distinctes, réparties à angles égaux sur un cercle.
Formule
r = √(a² + b²) · θ = atan2(b, a) · (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ · ⁿ√(r∠θ) = ⁿ√r ∠ (θ + 360°k) ÷ n
Variables
| Symbole | Signification | Unité |
|---|---|---|
mode | Sens | — |
real | Partie réelle a | — |
imag | Partie imaginaire b | — |
modulus | Longueur r | — |
argument | Angle | — |
unit | L'angle est en | — |
power | Élever à la puissance | — |
OU | L'autre forme | — |
RC | Sous la forme a + bi | — |
PL | En longueur et angle | — |
MO | Module, sa distance à zéro | — |
AD | Argument en degrés | — |
AR | Argument en radians | — |
PR | Partie réelle après la puissance | — |
PI | Partie imaginaire après la puissance | — |
PM | Module après la puissance | — |
RT | Numéro de racine · partie réelle · partie imaginaire · angle | — |
CJ | Le conjugué | — |
Exemple résolu
- Sensto_polar
- Partie réelle a3
- Partie imaginaire b4
- Longueur r5
- Angle53,1301
- L'angle est endeg
- Élever à la puissance2
- L'autre forme5(cos 53.1301023542 + i sin 53.1301023542)
- Sous la forme a + bi3 + 4i
- En longueur et angle5(cos 53.1301023542 + i sin 53.1301023542)
- Module, sa distance à zéro5,0000000000
- Argument en degrés53,13010235
- Argument en radians0,9272952180
- Partie réelle après la puissance-7,0000000000
- Partie imaginaire après la puissance24,0000000000
- Module après la puissance25,0000000000
- Numéro de racine · partie réelle · partie imaginaire · angle0 2 1 26.565051 1 -2 -1 206.565051
- Le conjugué3 - 4i
Questions fréquentes
Pourquoi la forme polaire existe-t-elle ?
Parce qu'elle rend la multiplication triviale. En forme cartésienne, multiplier deux complexes demande quatre produits et une comptabilité soignée des signes ; en forme polaire, on multiplie les deux longueurs et on additionne les deux angles, et c'est toute l'opération. Élever à une puissance revient à élever un nombre à cette puissance et à multiplier un angle par elle : c'est le théorème de De Moivre. Pour l'addition, c'est l'inverse — facile en cartésien, malcommode en polaire — d'où la survie des deux formes et le caractère routinier de la conversion.
Que sont les racines du tableau ?
Les racines n-ièmes de votre nombre, toutes. Un réel positif a une racine carrée réelle à laquelle on pense d'ordinaire ; un complexe a exactement n racines n-ièmes distinctes, réparties à angles égaux sur un cercle comme les pointes d'une étoile. Les racines cubiques de 1, par exemple, sont 1 et deux autres à 120 et 240 degrés — d'où le fait qu'une cubique ait toujours trois racines même quand une seule est réelle. Le tableau donne les coordonnées cartésiennes de chaque racine et son angle.